以复习构建知识网络，以实践践行以学为主 —“因数与倍数的复习与关联”教学探索与实践

【教学内容】

义务教育教科书《数学》五年级下册第5-14页。

【课标解析】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出要重视单元整体教学设计。改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题-单元-课时的数学知识和核心素养主要表现，因此，通过对人教版、北师大版和苏教版三个版本小学数学教材“因数与倍数”的内容编排、导入环节的呈现方式、数学文化等进行分析比较。再次基础上确定单元教学目标，整体设计, 促进学生对数学教学内容的整体理解，逐步培养学生的核心素养。同时课表还指出要注重教学内容的结构化。教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体。在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。要强化对数学本质的理解，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养。基于以上分析，将本节课的教学重点确定为复习与关联本单元的概念，使其在学生头脑中形成知识网络。教学难点是明确概念之间的区别联系。

【教学改进】

“因数与倍数”又是数论的两个重要概念，在这个单元的学习中关于数的概念比较多，在复习时就要求学生能够结合已有的知识进行归纳概括，使其加深对自然数进一步认识。

通过对人教版、北师大版和苏教版三个版本小学数学教材“因数与倍数”的内容编排、导入环节的呈现方式、数学文化等进行分析比较，充分探析这部分内容所具有的丰富内涵，为教学提供帮助。

通过对比发现三个版本教材“因数与倍数”的主要内容包括因数和倍数，2、3、5的倍数特征，质数和合数三个方面。在苏教版中在因数与倍数这个单元还学习了公因数、公倍数、最大公因数与最大公倍数，人教版和北师大版均安排在分数的意义一单元中进行学习。分解质因数也是安排在你知道吗？让学生了解。

三个版本教材对“因数与倍数”概念的呈现都注重从学生的已有知识和学习经验出发。同时在讲解2、3、5的倍数特征时，三个版本教材的导入均采用了百数表，要求学生从百数表中圈出2、3、5的倍数，以此来归纳出2、3、5的倍数的特征。

本单元涉及的教学内容较为抽象，概念较多，是一种纯粹的数学概念课。在此基础上进行因数与倍数的复习与关联，可以层层递进，有效地引导学生把所学概念串联起来，处理好概念教学的阶段性与连续性的关系。在教材分析的基础上进行因数与倍数的复习与关联，可以层层递进，有效地引导学生把所学概念串联起来，处理好概念教学的阶段性与连续性的关系。

【学情分析】

《因数与倍数的复习与关联》是在学生已经学习了本单元内容后，对因数与倍数进行整理与复习，是对本单元内容的回顾、梳理、反思和提升，是在已有知识基础上的创新学习。本单元的学习是在学生已经学习了一定的整数知识的基础上，进一步认识自然数的性质。五年级的学生抽象能力已经有了进一步发展，具备了一定的思维基础，能够在探索中发现和总结。

本单元由于数概念较多，是一种纯粹的数学概念课，很容易记混，理解起来较为困难，教学时很难结合生活实例或具体情境诠释其意义，如质数与合数，学生理解起来就有一定的难度。

基于这些分析，我们对学生进行了单元知识前测，通过前测，了解到学生虽然对因数和倍数这个单元掌握的比较好，但是在其中也发现，学生并没有真正理解因数、倍数等概念的含义，更不了解他们之间相互依存的关系，对于综合能力比较强的题更是无从下手，需要着重思考如何帮助学生加以辨析。

【教学目标】

（1）掌握因数和倍数的有关概念明确概念之间的区别与联系。

（2）初步学会整理的方法，感受知识是相互联系的。

（3）养学生分析、判断、推理、概括的能力，使学生养探索的良好品质。

【教学重点】

复习与关联本单元的概念，使其在学生头脑中形成知识网络。

【教学难点】

明确概念之间的区别联系。

【教学准备】

教学课件

【教学过程】

一、导入

问题：出示百数表（圈出：3、6）你能说说这两个数字之间有什么关系吗？

预设：3＜6,  6是3的2倍，3是6的一半或二分之一……6是3的倍数， 3是6的因数。

引入课题——今天我们一起对因数与倍数进行复习与关联。

[设计意图]：让学生找到两个数之间的关系，从而唤起学生对因数和倍数的回忆。通过百数表导入，激发学生的学习兴趣。

二、巩固相关概念、理解它们的区别与联系。

1.复习因数、倍数。

问题1：看到3和6，希希也有自己的想法，我们一起听听希希看到3和6是怎么想的？同意吗？为什么？

希希的想法：因为 6÷3=2，所以 2 和 3是因数，6 是倍数。

预设：不同意。因为6÷3=2，所以6是2和3的倍数，2和3是6的因数。

小结：因为因数和倍数研究的是两个数之间的关系，不能说谁是因数谁是倍数，要说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。它们是相互依存的。（板书——相互依存）

[设计意图]：通过对因数和倍数概念的回顾和辨析，巩固概念的基础上进一步体会“因数与倍数是相互依存的”。

2.复习找因数和倍数的方法。

（1）复习找因数的方法

问题1:6的因数只有2和3吗？怎样找一个数的因数？

预设：还有1和6。列乘法算式。列除法算式。

小结：无论是哪种方法都可以成对列举出一个数的因数，但我们都习惯像这样从小到大列举出来，或者用如集合图的形式表示出一个数的因数，大家可以选择自己喜欢的的方法。

（2）拓展完全数：6其实还是一个很神秘而特殊的数，我们一起去看一看吧。

问题1：你能说说6是什么数吗？为什么被称为完全数？

预设：除了它本身的所有因数相加等于它本身。

小结：6是我们找到的最小的完全数，通过找一个数的因数我们认识了一类新的数——完全数。

（3）复习找倍数的方法

问题1： 6的因数你会找了，那6的倍数你会找吗？你是怎么找的说一说？

预设：列乘法算式、依次加6。

小结：像找一个数的倍数可以避免不重负不遗漏，我们也习惯像这样从小到大列举出来，或者用集合图的形式表示出一个数的倍数。

（4）复习一个数因数与倍数的个数

问题1：这样的乘法算式你列的完吗？为什么？

预设：一个数的倍数的个数是无限的。

问题2：你知道为什么一个数的倍数的个数是无限的吗？

预设： 因为自然数的个数是无限的。

问题3：一个数的倍数个数是无限的就找不到一个数的最大的倍数，那找的到最小的倍数吗？它是谁？

问题4：那一个数的因数找的完吗？找得到最大的因数和最小的因数吗？

预设：找的完。一个数的因数的个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是他本身。

问题5：如果把6这些因数和倍数放在一条线上，会是什么样子呢？我们一起看一下。你有什么想说的吗？

预设：6既是它的最大因数也是它的最小倍数。

问题6：从大小上看，你还有什么想说的吗？

预设：一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数。

3.复习质数、合数、偶数、奇数、2的倍数特征。

（1）复习质数和合数

问题1：看到3和6你还会想到哪些数？

预设：质数、合数、奇数、偶数。

问题2：你能说说什么是质数，什么是合数吗？

小结：我们是根据因数的个数判断质数和合数的。

问题3：（出示百数表中的质数）你能判断出百数表中圈出的数是什么数？

预设：质数。

问题4：那剩下的数是什么数？

预设：合数

问题5：你们同意吗？

预设：不同意、剩下的数是合数和1。

小结：按因数的个数把非0自然数分成质数、合数、1三类。

（2）复习偶数、奇数、2的倍数特征。

问题1:什么是奇数和偶数？

问题2：个位上是0、2、4、6、8的数是谁的倍数？

预设：2的倍数。

问题3：（出示圈偶数的百数表）百数表中圈起来的数是什么数？剩下的数是什么数？

小结：按是否是2的倍数，我们可以把自然数分为奇数和偶数。我们按照不同的标准，将自然数进行了分类，分类的标准不同，我们得到的结果也不同。

（3）质数、合数、偶数、奇数辨析。

问题1：是不是所有的奇数都是质数？

问题2： 是不是所有的偶数都是合数？

[设计意图]：以百数表为依托，通过交流，唤醒学生对因数与倍数相关概念的回忆，将零散的知识贴在黑板上，激发学生整理知识的主动性。

4.复习数的倍数特征。

（1）复习数的倍数特征，并提出问题。

问题1：除了研究2的倍数特征，我们还研究了哪些数的倍数特征呢？

预设：5的、3的倍数特征

问题2：3的倍数有什么特征？

问题3：5的倍数特征呢？

问题4：你有什么想问的吗？

预设1：为什么2.5的倍数特征看的是个位上的数，而3的倍数特征是要看各个数位上的和呢？

预设2：哪些数既是2的倍数又是5的倍数？

预设3：哪些数既是2的倍数又是3的倍数？

预设4：哪些数既是3的倍数又是5的倍数？

预设5：哪些数同时是2、3、5的倍数？

（2）根据学生提出的问题关联。

①微课视频了解为什么2.5的倍数特征看的是个位上的数，而3的倍数特征是要看各个数位上的和。

②复习既是2的倍数又是5的倍数的数特征

问题：哪些数既是2的倍数又是5的倍数，谁能回答这个问题？

预设：个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。

③复习既是3的倍数又是5的倍数的数特征

问题：（百数表圈出3的倍数）你能看出百数表上圈起来的是什么数吗？（再圈的5的倍数）你有什么新的发现吗？

预设：个位上是0、5数，各个数位上的和是3的倍数的数，既是3的倍数，也是5的倍数。。

④复习既是2的倍数又是3的倍数的数特征

问题1：（出示圈好3的倍数百数表中，再圈2的倍数）你能看出我圈的是什么数吗？你有什么新的发现吗？（等30秒）

问题2：在4人小组内说一说你的新发现吧。

预设：6.12.18……既是2的倍数也是3的倍数。个位上是0.2.4.6.8，各个数位上的和是3的倍数的数。

⑤复习同时是2、3、5的倍数的数特征

问题1：现在你能在百数表中快速的找到同时是2、3、5的倍数的数吗？

预设：30.60.90 。

问题2：你有什么窍门？

预设：个位上是0，并且各个数位上的和是3的倍数，是2、3、5的倍数。

5．探究数的倍数特征。

问题：在百数表中任选一个数，研究一下，这个数的倍数，再说一说你的发现。

小结：利用百数表我们还可以探究更多数的倍数特征，在以后的学习中大家可以继续探究。

[设计意图]：通过自主探索，使学生将本单元的知识内化，培养学生的创新思维。

三、课堂小结、建构知识网：

问题：这个单元中我们学习了这么多零散的知识，你能将这些知识关联一下吗？（等30秒）在4人小组内说一说。

小结：数学就是这样有趣，只要你能发现它的本质，找到他们之间的联系和规律，就能发现其中的奥秘。

[设计意图]：通过小组讨论并展示，让学生找到各部分知识间的联系，将学生脑海里零散的知识系统化、网络化。有助于学生理解相关概念，找到知识本之间的联系。培养学生梳理概括知识的能力。

【案例反思】

复习课是小学数学一种基本课型，它承载着“回顾与整理，沟通与生长”的独特功能，是引导学生把所学的知识进一步系统化的过程。教学过程中，整节课以“百数表”为主线，学生借助“百数表”，将因数与倍数相关的知识的进行系统的关联。

“忆”知识——回顾旧知

孔子曰：温故而知新。建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教师的，在以往的学习中，他们已经积累了一些知识和经验。教学中通过以“看到百数表中的3和6，你能说说这两个数字之间有什么关系吗？”为问题导向，让学生回顾和因数与倍数相关的知识。同时，通过追问“看到3和6你还会想到哪些数？”回忆奇数、偶数、质数和合数等相关概念。让学生的知识在脑海里浮现出来。

“重”关联——构建知识网络

构建知识网络是复习课的主要功能，教学时充分挖掘单元知识的概念关联与运用逻辑,从独立单元到多册教材中相关知识的纵横梳理。在课堂小结中，让学生将黑板上零散的知识，进行关联。通过本节课的学习让原本还在学生的脑海里以碎片的形式存在的知识形成网，建构起知识结构间的关联，找到知识本质间的关联。

“透”文化——渗透数学文化

通过数学文化的渗透，更能激发学生的学习兴趣。本节课中以微课的形式进一步了解“完全数”。从知识本体延伸到学科文化，从学科文化到学科育人，建立知识与生活的联系，有效地激发了学生的学习兴趣,提高了学生的探索欲望，开拓了学生的视野,培养了学生的核心素。

通过对教材深度研究，前期测评学生旧知和已有经验的储备，根据反馈的情况把握教学的深浅度，再到系统性、关联性的复习来完成以学为主的复习课的课堂教学实践。